Calcular Recta Tangente a la curva f(x) que pasa por X.

Si queremos calcular la ecuación de la recta que pasa por la curva:

f(x)= -1/2 x² + 1/3 x + 2

que es tangente a f(x) en X = 2

La gráfica de esta ecuación es:

Solo tenemos una parte del punto X=2 por donde pasa la recta tangente, así que para conocer el valor completo del punto, sustituimos x=2 en f(x):
f( 2 ) = -1/2 (2)2 + 1/3 (2) +2 = 0.667

De esta forma, hemos calculado la posición completa del punto en A(2, 0.667) por donde deberá pasar la ecuación de la recta tangente a la curva f(x).

Ahora utilizamos la interpretación geométrica de la primera derivada, para calcular la ecuación de la pendiente trigonométrica del ángulo de inclinación, correspondiente a la recta tangente a la curva que pasa por el punto A(2, 0.667):

\(m=f'(x)=\frac{dy}{dx}=-x+\frac{1}{3}\)

Sustituiremos x = 2 en esta ecuación de la primera derivada para obtener el valor de la pendiente trigonométrica:

\(m=f'(2)=-2+\frac{1}{3}=-1.667\)

Ahora que conocemos el valor de la pendiente m= -1.667 y el punto A(2, 0.667) por donde pasa la recta, podemos hacer uso de la forma punto pendiente para calcular la ecuación de la recta:

    ( Y - Yo ) = m ( X - Xo )    

Sustituiremos los valores de Xo, Yo correspondientes al punto A y el valor de la pendiente calculada ( m ):

(  Y -  0.667  ) = - 1.667 ( X - 2 )

Despejamos Y:

Y - 0.667 = - 1.667 X + 3.333

Y = -1.667 X  + 3.999

Que podemos escribir como una función: g ( x ) = - 1.667 X + 3.999

Y al graficar g ( x ) se verá así:

Como podremos observar, si trazáramos rectas tangentes desde X = - 2 hasta X = 2.5 con incrementos de 0.5 en 0.5 unidades, podríamos reconstruir esa parte de la curva con las intersecciones de las rectas. El proceso de cálculo sería el mismo que utilizamos, pero para cada punto de X situado en el intervalo -2 <= X <= 2.5

¿Por qué no intentas comprobarlo?