Por favor decargar, imprimir y leer en compañía de tu padre o tutor el acuerdo de convivencia en el aula.
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Para tomar notas de clase, será necesario que lleves una libreta tamaño carta o profesional, de cuadros grandes. También que utilices distintos colores de bolígrafos: negro, azul y rojo. Para tus ejercicios, será necesario un lápiz HB o un portaminas con minas calibre 0.7 mm, un sacapuntas y una goma. Como algunos ejercicios prácticos requerirán de algunos dibujos o diagramas, también es recomendable que tengas a la mano un juego de geometría (regla, compás y transportador)
Para este curso de Temas Selectos de Matemáticas 1, será necesario que descargues gratuitamente las aplicaciones para dispositivos móviles o teléfonos celulares:
Geogebra Graficadora
Microsoft Excel o Google Hoja de Cálculo (Después de instalarla, asegúrate que funcionan bien sin conexión a Internet)
En el siguiente documento (Clic aquí para descargar el documento) explico brevemente acerca de su instalación y uso.
Progresión 1.
Explora investigaciones recientes en el campo de las ciencias de la complejidad a un nivel divulgatorio con la finalidad de observar algunas nociones y aplicaciones de este paradigma.
Observa el siguiente vídeo acerca de la teoría de caos.
Después, elabora un breve resumen sobre lo que has visto y recuerdas de máximo 30 líneas en tu libreta. Te servirán como referencia las siguientes preguntas: ¿En qué año surgió la teoría del caos? ¿Quién descubrió la teoría del caos? ¿De qué equipo se auxilió para generar los resultados de su experimento? ¿Cómo fué que lo descubrió? ¿Cuál fue el resultado de su práctica experimental con el modelo matemático que utilizó? ¿Cuál es el sello distintivo del caos?¿Qué hacen ahora los meteorólogos para tener una estimación más precisa de sus pronósticos del clima?
Observa el siguiente vídeo acerca de la geometría de fractales.
Después de ver los siguientes vídeos, elabora un resumen de máximo 30 líneas de texto en tu libreta acerca de los aspectos que consideres más importantes. Te ayudará recordar: ¿En qué año fue propuesta la geometría de fractales? ¿Quién propuso la geometría fractal? ¿Qué son los fractales? ¿En qué lugares se encuentran los fractales? ¿Qué es la dinámica fractal?
Presenta tus resúmenes en la clase, comparte con tus compañeros, compara y concluye.
Práctica 1.1
Introducción.
Un sistema complejo es un conjunto de elementos interconectados cuyas interacciones generan comportamientos colectivos emergentes, adaptativos y difíciles de predecir, imposibles de entender estudiando sus partes por separado (Mitchell, 2009; Thurner et al., 2018).
Un ejemplo de sistema complejo es el funcionamiento de nuestro corazón, por ser un órgano heterogéneo con componentes anatómicos y electrofisiológicos que interactúan dinámicamente. Funciona como una bomba biológica autónoma capaz de latir ~100,000 veces al día, ajustando su ritmo y gasto cardíaco a las necesidades del cuerpo mediante una intrincada red eléctrica y vascular (Hall & Hall, 2021).
Aspectos que definen la complejidad del corazón:
Sistema Eléctrico Propio: Genera sus propios impulsos eléctricos a través de un sistema de conducción especializado (nódulo sinoatrial, miocitos) que coordina la contracción muscular (Nerbonne & Kass, 2005).
Heterogeneidad Anatómica: Está compuesto por cuatro cavidades (dos aurículas, dos ventrículos) y válvulas, cuya estructura específica determina su función, especialmente en las aurículas (Anderson et al., 2009).
Interacción de Factores: Su funcionamiento depende de la interacción entre el músculo cardíaco (miocardio), el sistema nervioso autónomo (simpático/parasimpático) y la hemodinámica, permitiendo adaptarse a situaciones de reposo o esfuerzo (Goldberger et al., 2002).
Regulación de Complejidad: La frecuencia cardíaca no es lineal; está determinada por la interacción compleja entre efectos simpáticos y parasimpáticos (Ivanov et al., 1999).
La comprensión del corazón como un sistema complejo es fundamental para la medicina moderna, facilitando diagnósticos mediante electrocardiogramas (ECG) y el desarrollo de dispositivos personalizados (Glass, 2001).
Desarrollo:
Mediante el uso del sistema Box-Counting identificar la dimensión fractal (D) que presenta el resultado de un Electro Cardio Grama (ECG) con la finalidad de poder generar un pronóstico estimado del estado que guarda el funcionamiento del corazón de un paciente X.
Investiga cómo se realiza el conteo mediante el uso del método Box-Counting utilizando acetatos cuadriculados.
Fundamento Matemático.
La dimensión fractal se define por la relación entre el número de celdas necesarias para cubrir el fractal y el tamaño de dichas celdas. La ecuación fundamental es:
D = lim e->0 [ log(N(e)) / log(1/e) ]
Donde:
e: Es la longitud del lado de la celda
N(e): Es el número de cajas de tamaño e que contienen al menos un punto de la imagen o señal.
Explica con tus propias palabras la ecuación para calcular la dimensión fractal. Como habrás observado, realizar el procedimiento box-counting manualmente, demanda tiempo considerable y la obtención de diversas plantillas cuadriculadas.
Luego se grafican los resultados en un plano Log-Log, donde el eje x es log(1/e) y el eje y es log(N(e))
La pendiente (m) de la línea recta que resulta en la gráfica Log-Log es precisamente la Dimensión Fractal (D).
Para facilitar estas tareas y automatizar este proceso, recurrirás al uso del lenguaje de programación Phyton, al entorno de ejecución de Google Colab y a la conexión con Google Drive para almacenar las imágenes de ECG que serán analizadas por el programa.
En este documento (Descargar el documento) encontrarás el código Phyton requerido para ejecutar esta práctica.
En este documento (Descarga el documento) encontrarás una tabla con valores de referencia para la dimensión fractal (D) que te permitan estimar la situación que podría prevalecer en el corazón del paciente X.
Recuerda que antes de pegar el código en Google Colab, deberás conectar con Google Drive para tener acceso a la carpeta en la que previamente has guardado las imágenes de ECG y compartir con cualquier usuario que tenga el vínculo.
A continuación te dejo un video que te ayudará a conectar Google Colab con Google Drive.
Guarda la siguiente imagen ECG en tu Google Drive para el primer ejercicio práctico:
Modifica la ruta que está entre comillas simples, por la ruta y archivo ECG que previamente guardaste en tu Google Drive. Por ejemplo, si tu carpeta en Drive se llama MATE y el archivo se llama img_ECG1.jpg tendrías que utilizar la ruta: '/content/drive/MyDrive/MATE/img_ECG1.jpg'
Después ejecuta el código haciendo clic en el botón de ejecución que se muestra en la siguiente imagen:
Obtén una imagen del resultado, mostrando también parte del código. Imprime la imagen y agrega en tu libreta como evidencia.
Busca en Internet una imagen de ECG de una persona saludable y edita la imagen para que solo se vea la imagen fractal del ECG. Súbe el archivo de la imagen a tu Google Drive y vuelve a modificar la linea del código que contiene la variable img = image.open(' ') con la ruta del archivo de la imagen que subiste.
Vuelve a ejecutar el código para obtener la gráfica y el valor de la dimensión fractal (D).
Obtén una imagen del resultado que también muestre parte del código. Imprime la imagen y agrega en tu libreta como evidencia.
Busca en la tabla de valores de referencia (compartida anteriormente) para la dimensión fractal (D) los valores obtenidos y anota en tu libreta, debajo de cada impresión la interpretación que corresponda a cada una de las dos gráficas obtenidas.
Observa fenómenos caóticos y no caóticos para distinguir características como la
predictibilidad y sensibilidad a condiciones iniciales.
Práctica 2.1
Materiales:
1 pelota de esponja o un objeto similar que pueda arrojarse al piso sin sufrir daño.
1 Cinta métrica.
1 Silla, mesa o escalera pequeña y segura.
1 Persona ayudante.
1 Cinta adhesiva.
1 Cronómetro (puedes utilizar el reloj de tu teléfono celular)
Desarrollo:
Utilizando la cinta métrica, mide y marca con la cinta adhesiva sobre una pared la altura de 1 metro.
Tu ayudante dejará caer la pelota u objeto desde a altura marcada de un metro. Cuando tú des la señal de soltar. En el momento que des la señal, activa el cronómetro y para el cronómetro cuando el objeto toque el suelo. Toma nota del tiempo que tardó en llega al piso el el objeto.
Repite esta acción 4 veces. Luego calcula el promedio de los 4 tiempos registrados: Tp = (t1 + t2 + t3 + t4)/4 y anota en tu libreta el promedio de tiempo calculado para un metro.
Repite los pasos anteriores, para las alturas de: 1.25 m, 1.5 m, 1.75 m, 2.0 m, 2.25 m. y 2.5 m.
Tendrás 7 alturas y sus respectivos tiempos promedio.
Con estos pares de datos (altura y tiempo) elabora una tabla conteniendo las siguientes columnas:
Altura (H)
Tiempos (T)
Tiempo promedio (Tp)
Log (H)
Log (Tp)
Las columnas Log (H) y Log(Tp) deberán contener el valor del logaritmo base 10 de la altura (H) y tiempo promedio (Tp)
Elabora dos gráficas:
1) Donde el eje x represente el tiempo promedio (Tp) y el eje y represente la altura(H).
2) Donde el eje x represente Log(Tp) y el eje y represente Log(H)
A partir de estos datos experimentales, determina la ecuación que podría utilizarse para estimar la ecuación de la recta y = mx + b para la gráfica Log - Log.
¿Qué representa la recta de la gráfica Log(Tp) VS Log(H)?
¿Qué representa la curva de la gráfica Tp VS H?
¿Son estos datos resultado de un sistema lineal o complejo? ¿Por qué?
¿Podrías estimar con estos datos y un modelo matemático cuánto tiempo tardará en caer el objeto de una altura de 5.5 m? Considera la fuerza de gravedad como 9.81 m/s2
Dos segmentos de hilo o estambre, uno de 0.60 m y otro de 30 cm de longitud
Dos tuercas de diferentes dimensiones (1/2", 3/4" o similares)
Desarrollo.
1. Amarra el hilo o estambre de 0.60 cm a una parte alta en donde quede completamente libre (que no pueda ser interferido por algún otro objeto como pared o mueble al momento de balancearse)
2. Ata al extremo suelto del hilo o estambre la tuerca.
3. Estira y jala unos centímetros hacia arriba el estambre sujetando por la tuerca y dejar que oscile. Observa el movimiento. Repite esta acción 3 veces ¿Es predecible el movimiento del péndulo? Ahora aumenta la distancia al momento de estirar hacia arriba ¿Será que la tuerca suba hasta llegar en el extremo contrario a la misma altura que de donde fue soltado?
4. Ata el segmento de hilo o estambre de 0.30 cm a la tuerca que está colgando.
5. Ata la segunda tuerca al extremo suelto.
6. Ahora repite el paso 3, sujetando la segunda tuerca y realiza tus observaciones y anota en tu libreta.
7. Toma una fotografía de la acción del doble péndulo y adhiere a tu libreta con tus observaciones.
8. Toma un pequeño vídeo de la ejecución del doble péndulo y muestra al docente al entregar tu reporte.
Práctica 2.3
Materiales:
Google Chrome Google Colab
Utiliza el siguiente código en Python (Descargar código) para simular el comportamiento del segundo elemento de un péndulo doble.
Experimenta cambiando los valores de la longitud y peso de los elementos del péndulo, que encontrarás como: L1, L2 y m1, m2 respectivamente. Modifica el código y experimenta con los siguientes valores y observa la diferencia en la gráfica generada:
L1, L2 = 3.0, 3.5 #Longitud de cada péndulo
m1, m2 = 1.0, 0.1 #Masa de cada péndulo
L1, L2 = 1.0, 3.5 #Longitud de cada péndulo
m1, m2 = 1.8, 0.1 #Masa de cada péndulo
L1, L2 = 1.0, 1.5 #Longitud de cada péndulo
m1, m2 = 1, 2.2 #Masa de cada péndulo
L1, L2 = 3, 2.5 #Longitud de cada péndulo
m1, m2 = 1.0, 1.25 #Masa de cada péndulo
L1, L2 = 3, 2.5 #Longitud de cada péndulo
m1, m2 = 1.0, 2.5 #Masa de cada péndulo
Recorta dos de las gráficas generadas y agrega a tu libreta estas imágenes impresas.
Anota debajo las dos imágenes tus conclusiones considerando las siguientes preguntas: ¿Cambian mucho las imágenes? ¿Tardan más en generarse algunas las imágenes? ¿Por qué consideras que aumenta o disminuye el tiempo para generar las imágenes?
Progresión 3.
Analiza funciones lineales y no lineales en el contexto de la modelación de fenómenos de interés, como la dinámica de poblaciones, e incorpora las nociones de órbita, periodo y comportamiento caótico. Cuando analiza sistemas dinámicos discretos considera la conjetura de Collatz, para observar que la matemática es una ciencia viva que en ocasiones emplea la computación para generar evidencia a favor de ciertas afirmaciones.
Práctica 3.1
Utilizando una hoja de cálculo, desarrolla los valores generados por la conjetura de Collatz empezando por n = 200 + tu número de lista y con ellos realiza una gráfica X, Y Dispersión en MS Excel.
Ejemplo, si tu número de lista es 35, entonces desarrollarás para n=235.
Desarrollo:
Recuerda que la conjetura de Collatz dice: si tomas un número cualquiera e identificas que el número es par, entonces dividirlo por 2, si es impar, multiplicar el número por 3 y sumar 1. Repetir esto con el valor obtenido hasta llegar a 1.
Ejemplo.
Si el número para iniciar la conjetura es: 7
7 es impar, entonces (7 x 3) + 1 = 22
22 es par, entonces 22 / 2 = 11
11 es impar, entonces (11 x 3) + 1 = 34
34 es par, entonces 34 / 2 =17
etc. hasta llegar a 1.
Utiliza las siguientes funciones de Excel para los cálculos:
=SI(condición, hacer esto si es verdad el resultado de la condición, hacer esto si es falso el resultado de la condición)
= RESIDUO(número dividendo, número divisor)
Ejemplo:
Anotar en la celda B3 el número 7, debajo de la columna identificada con n.
En la celda B4 debajo de la celda en que se anotó el 7 se debe escribir:
= C3
Copiar la celda B4 por debajo tantas veces como sea necesaria.
Para saber si el número de la celda B3 es par o impar, anotar en la celda C3:
=SI( RESIDUO(B3, 2)=0, B3 / 2, (B3 * 3) + 1 )
Si al dividir cualquier número n por 2, el residuo es cero, entonces n es un número par, en caso que esto sea falso, el número es impar.
En el caso de la conjetura de Collatz, se aprovecha esta condición para realizar las operaciones conducentes.
La expresión anterior, debe ser copiada en cada una de las celdas debajo de la C3.
Bastará con copiar esta celda tantas veces como sea necesario hasta llegar al valor de 1.
Importante: Utiliza el número n que te corresponda para generar tu propia tabla de valores de la conjetura de Collatz y grafica el contenido de la columna Valor, mediante una gráfica del tipo X, Y de Dispersión.
Imprime un recorte de la pantalla que muestre gran parte de tus valores de la Conjetura de Collatz y la gráfica generada.
¿Los valores de la conjetura que obtuviste, producen una imagen fractal? ¿Por qué? ¿Es la conjetura de Collatz un sistema complejo? ¿Por qué?
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