Calcular mínimo y máximo de una función

Gracias al cálculo y mediante el uso de la interpretación geométrica de la primera derivada, podremos determinar si una función presenta puntos mínimo y máximo.

Recordemos que la primera derivada, representa a la pendiente trigonométrica (m) del ángulo de inclinación de una recta tangente a la curva generada por la función, en cualquier punto de la curva.

Así que, una recta tangente a la curva cuya pendiente es de cero grados o de ciento ochenta grados de inclinación, es una recta horizontal. Y el único momento en que la recta tangente es horizontal, es cuando la curva cambia de dirección; es decir, cuando llega a su punto más alto y comienza a descender o cuando llega a su punto más bajo y comienza a ascender.

Veamos la curva que genera la siguiente función:
f(x) = 3x³ + 6x² + 1/8 x - 1/2 

 A simple vista, podemos distinguir dos puntos de inflexión. Uno sobre el lado positivo del eje Y y otro del lado negativo del eje Y. 

Por lo que, al punto más alto de inflexión corresponderá el valor máximo y al punto de inflexión más bajo el mínimo.

Pero... ¿En qué puntos están ubicados sobre el eje de coordenadas?

 Para realizarlo mediante el uso de la derivada, haremos lo siguiente:

1. Calcularemos la primera derivada de la función f(x):

pendiente (m) = tan A = dy/dx = f ' (x) = 9x² + 12 x + 1/8

2. Como sabemos  la primera derivada representa a: la pendiente trigonométrica del ángulo de inclinación de cualquier recta tangente a la curva.

Y que la tangente trigonométrica de una linea recta, cuya pendiente (m) es cero grados de inclinación, representa una recta horizontal. Entonces podemos igualar la primera derivada con cero, porque se trata de rectas horizontales las que pasan por los puntos mínimo y máximo:

9x² + 12x + 1/8 = 0

Luego, como se trata de una función del tipo Ax² + Bx + C = 0

Podremos encontrar para que valores de x, la función es igual a cero, haciendo uso de la fórmula general:

Haciendo: A = 9     B = 12      C = 0.125  y sustituyendo en la fórmula general, obtendremos:

x₁ = - 0.01    x₂ = -1.323


Que debemos interpretar como los valores sobre el eje X, para los cuales se cumple que la pendiente (m) de la recta tangente a f(x) es cero, es decir es horizontal.


Ahora solo sustituimos estos valores en la función f(x) para conocer los puntos en que se encuentra el mínimo y máximo de la función:


f(-0.01) = 3 (-0.01)³ + 6 (-0.01)² + 1/8 (-0.01) - 1/2 = - 0.50

 f(-1.323) = 3 (-1.323)³ + 6 (-1.323)² + 1/8 (-1.323) - 1/2 = + 2.89

Por lo tanto, los puntos se localizan:
Mínimo en A(-0.01, -0.50) y Máximo en B(-1.323, +2.89)