Cómo se descubrió el valor de Pi

Me han preguntado sobre el origen de Pi y me encantaría hacerlo en una clase, pero encontré este video, en el que un par de jóvenes científicos lo explican maravillosamente.

Hacer clic en el siguiente enlace.

Cómo surgió Pi

Ejercicios de repaso: Potencias trigonométricas e Integración por partes.

Los siguientes ejercicios presentan varios casos de integración de potencias trigonométricas.

Han sido escritos para mis alumnos de cálculo integral en el CBTis No. 142.

Al final del documento PDF encontrarán una nota al respecto.

 Descagar el documento PDF: Potencias Trigonométricas

Descarga el documento PDF: Integración por partes.

Latex funcionando... ¡¡yuhuuu!!
Gracias a MathJax</ a>
Ejemplo de uso de Latex en el Blog:

Cuando \(a \ne 0\), existen dos soluciones a: \(ax^2 + bx + c = 0\) que pueden determinarse mediante: \[x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}.\]

Calcular Area mediante Java usando sumas de Riemann

La finalidad de este post, es demostrar el uso del lenguaje de programación Java, para crear un pequeño programa que calcule el área bajo la curva f(x) utilizando el método de Riemann. 

El intervalo para calcular el área está limitado por a y b, donde  a  siempre es el menor valor.

Hacer el número n de rectángulos o intervalos considerablemente grande; entre más grande mayor exactitud en el cálculo del área, pero el tiempo de procesamiento será también mayor. El valor para dx está determinado por: ( b - a ) / n

Se considera para tal fin, que las alturas de cada rectángulo están dadas por cada valor de f(x), donde x para cada ciclo es la mitad del intervalo dx.

package mathrieman;
import java.util.Scanner;

public class rieman {
    public static void main(String[] args) {
        //Se crea el lector:
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        //Valor del límite inferior:
        System.out.println("Valor de a:");
        double a = sc.nextFloat();
       
        //Valor del límite superior:
        System.out.println("Valor de b:");
        double b = sc.nextFloat();
       
        //Valor del número de intervalos:
        System.out.println("Cantidad de intervalos (n):");
        double n = sc.nextFloat();
       
        double dx = (b-a)/n;
        System.out.println("dx:" + dx);
        double s = 0.0;
        double x = 0.0;
        double y = 0.0;
        int j=0;
        for(double i = a;i <= b-(dx/2);i += dx) {
            x = i+(dx/2);
            y = Funcion_f(x);
            s+= dx*y;
            System.out.println("i=" + ++j +" x=" + x + " f(x)=" + y + " area parcial=" + (dx+y) );
        }
        System.out.println("El área bajo la curva es:"+s+" unidades cuadradas.");
    }
   
    private static double Funcion_f(double x) {
        //Declaración de la función f(x):
        double y=Math.pow(x, 2) - 2;
        //Devolver el valor de f(x)
        return(y);
    }
}

Calcular Recta Tangente a la curva f(x) que pasa por X.

Si queremos calcular la ecuación de la recta que pasa por la curva:

f(x)= -1/2 x² + 1/3 x + 2

que es tangente a f(x) en X = 2

La gráfica de esta ecuación es:

Solo tenemos una parte del punto X=2 por donde pasa la recta tangente, así que para conocer el valor completo del punto, sustituimos x=2 en f(x):
f( 2 ) = -1/2 (2)2 + 1/3 (2) +2 = 0.667

De esta forma, hemos calculado la posición completa del punto en A(2, 0.667) por donde deberá pasar la ecuación de la recta tangente a la curva f(x).

Ahora utilizamos la interpretación geométrica de la primera derivada, para calcular la ecuación de la pendiente trigonométrica del ángulo de inclinación, correspondiente a la recta tangente a la curva que pasa por el punto A(2, 0.667):

\(m=f'(x)=\frac{dy}{dx}=-x+\frac{1}{3}\)

Sustituiremos x = 2 en esta ecuación de la primera derivada para obtener el valor de la pendiente trigonométrica:

\(m=f'(2)=-2+\frac{1}{3}=-1.667\)

Ahora que conocemos el valor de la pendiente m= -1.667 y el punto A(2, 0.667) por donde pasa la recta, podemos hacer uso de la forma punto pendiente para calcular la ecuación de la recta:

    ( Y - Yo ) = m ( X - Xo )    

Sustituiremos los valores de Xo, Yo correspondientes al punto A y el valor de la pendiente calculada ( m ):

(  Y -  0.667  ) = - 1.667 ( X - 2 )

Despejamos Y:

Y - 0.667 = - 1.667 X + 3.333

Y = -1.667 X  + 3.999

Que podemos escribir como una función: g ( x ) = - 1.667 X + 3.999

Y al graficar g ( x ) se verá así:

Como podremos observar, si trazáramos rectas tangentes desde X = - 2 hasta X = 2.5 con incrementos de 0.5 en 0.5 unidades, podríamos reconstruir esa parte de la curva con las intersecciones de las rectas. El proceso de cálculo sería el mismo que utilizamos, pero para cada punto de X situado en el intervalo -2 <= X <= 2.5

¿Por qué no intentas comprobarlo? 


 

Calcular mínimo y máximo de una función

Gracias al cálculo y mediante el uso de la interpretación geométrica de la primera derivada, podremos determinar si una función presenta puntos mínimo y máximo.

Recordemos que la primera derivada, representa a la pendiente trigonométrica (m) del ángulo de inclinación de una recta tangente a la curva generada por la función, en cualquier punto de la curva.

Así que, una recta tangente a la curva cuya pendiente es de cero grados o de ciento ochenta grados de inclinación, es una recta horizontal. Y el único momento en que la recta tangente es horizontal, es cuando la curva cambia de dirección; es decir, cuando llega a su punto más alto y comienza a descender o cuando llega a su punto más bajo y comienza a ascender.

Veamos la curva que genera la siguiente función:
f(x) = 3x³ + 6x² + 1/8 x - 1/2 

 A simple vista, podemos distinguir dos puntos de inflexión. Uno sobre el lado positivo del eje Y y otro del lado negativo del eje Y. 

Por lo que, al punto más alto de inflexión corresponderá el valor máximo y al punto de inflexión más bajo el mínimo.

Pero... ¿En qué puntos están ubicados sobre el eje de coordenadas?

 Para realizarlo mediante el uso de la derivada, haremos lo siguiente:

1. Calcularemos la primera derivada de la función f(x):

pendiente (m) = tan A = dy/dx = f ' (x) = 9x² + 12 x + 1/8

2. Como sabemos  la primera derivada representa a: la pendiente trigonométrica del ángulo de inclinación de cualquier recta tangente a la curva.

Y que la tangente trigonométrica de una linea recta, cuya pendiente (m) es cero grados de inclinación, representa una recta horizontal. Entonces podemos igualar la primera derivada con cero, porque se trata de rectas horizontales las que pasan por los puntos mínimo y máximo:

9x² + 12x + 1/8 = 0

Luego, como se trata de una función del tipo Ax² + Bx + C = 0

Podremos encontrar para que valores de x, la función es igual a cero, haciendo uso de la fórmula general:

Haciendo: A = 9     B = 12      C = 0.125  y sustituyendo en la fórmula general, obtendremos:

x₁ = - 0.01    x₂ = -1.323


Que debemos interpretar como los valores sobre el eje X, para los cuales se cumple que la pendiente (m) de la recta tangente a f(x) es cero, es decir es horizontal.


Ahora solo sustituimos estos valores en la función f(x) para conocer los puntos en que se encuentra el mínimo y máximo de la función:


f(-0.01) = 3 (-0.01)³ + 6 (-0.01)² + 1/8 (-0.01) - 1/2 = - 0.50

 f(-1.323) = 3 (-1.323)³ + 6 (-1.323)² + 1/8 (-1.323) - 1/2 = + 2.89

Por lo tanto, los puntos se localizan:
Mínimo en A(-0.01, -0.50) y Máximo en B(-1.323, +2.89)

Graficar funciones mediante MS-Excel

Consideremos que se requiere graficar una función utilizando la hoja de cálculo MS-Excel. 

Por ejemplo la siguiente función:
f(x) =  0.5 x² - 2x + 3

Vamos a utilizar dos columnas, una para colocar todos los valores que le daremos a la variable x y otra para mostrar los resultados de la función f(x):

Entre más valores se consideren para x, más tendremos de f(x) y el dibujo de la gráfica estará mejor definida.

Debemos seleccionar el conjunto de datos desde el encabezado de x hasta el último valor de f(x).

Después clic en la pestaña de Insertar y seleccionamos en la sección gráficos: Insertar gráfico de dispersión (X, Y). De donde podemos seleccionar el gráfico Dispersión o Dispersión con líneas suavizadas.

Con la finalidad de demostrar la posición de cada punto calculado, podemos emplear la Gráfica de dispersión y no la de Dispersión con líneas suavizadas.

Inmediatamente después de hacer la selección, veremos aparecer la gráfica sobre la hoja de Excel.

Pero... Excel realizará automáticamente un escalado de la gráfica, tratando de mostrar la mayor cantidad posible de datos. Sin embargo, la consideración automática no mostrará la gráfica como debería ser. Habrá que ajustar manualmente los valores máximos de los ejes.

Para realizar el ajuste de los ejes, hacer clic derecho sobre el Eje vertical (valor) y seleccionar del menú contextual Dar formato al Eje. Ahora en la sección Opciones del Eje modificar el valor Máximo y Mínimo anotando los valores más convenientes para mostrar la gráfica. Repetir estos ajustes con el Eje horizontal, haciendo que coincidan los valores Máximo y Mínimo con los del eje vertical.

De esta forma, los ejes quedarán con las mismas dimensiones tanto vertical como horizontal y mostrarán la gráfica de la mejor forma.

Ahora podemos cambiar el estilo de la gráfica.
Hacer clic sobre el Área del gráfico.
Clic sobre la pestaña Diseño.
Clic sobre Cambiar tipo de gráfico.
Seleccionar el gráfico: Dispersión con líneas suavizadas y clic en Aceptar.



Entonces la gráfica cambiará de presentación por la de una linea suave que representa a la función.

 

Breve Historia del Cálculo.

Pierre de Fermat	A continuación les dejo un video de contenido muy interesante sobre la historia del cálculo. Este video es de producción UNAM, una de nuestras máximas casas de estudios en México. Ver video historia del cálculo Pierre de Fermat Abogado Francés (1601 - 1665)  Trabajó con las tangentes y sobre el estudio de los máximos y mínimos. Por ello se le atribuye el descubrimiento del cálculo diferencial.
Isaac Newton	El cálculo es una de las más increíbles herramientas de la matemática  que el hombre haya descubierto. Nuestra vida actual no sería posible, sin el descubrimiento del cálculo. Estos hombres, contribuyeron al desarrollo del cálculo como herramienta matemática que explicaba fenómenos astronómicos como el movimiento de los planetas alrededor del Sol, que siguen vigentes. Isaac Newton Matemático Inglés (1642 - 1727)
Gotfried Leibniz	Gotfried Wilhelm Leibniz Matemático Alemán (1646 - 1716) Sus últimos años de vida, fueron muy desgastantes. Entre él y Newton se disputaban el descubrimiento del cálculo. Por favor, deja tus comentarios acerca de lo que encontraste más interesante en este video. Será un gusto leerte.